Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.

（1)證明PA∥平面EDB；

（2)證明PB⊥平面EFD；

（3)求二面角C－PB－D的大小.

Answer 1

【答案】（1) 詳見解析（2) 詳見解析（3) 60°.

【解析】

試題分析：（1) 證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結(jié)合平幾知識，如三角形中位線性質(zhì)（2) 證明線面垂直，一般利用線面垂直判定與性質(zhì)定理，經(jīng)多次轉(zhuǎn)化給予證明，其中線線垂直的尋找不僅可根據(jù)線面垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化，也可根據(jù)平幾相關(guān)知識進行論證，如等腰三角形底邊中線垂直于底邊，正方形對角線相互垂直等（3) 先根據(jù)二面角定義確定平面角：∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.再根據(jù)解對應(yīng)三角形求角.

試題解析：

（1)證明 如圖所示，

連接AC，AC交BD于O，連接EO.

∵底面ABCD是正方形，

∴點O是AC的中點.

在△PAC中，EO是中位線，

∴PA∥EO.

而EO平面EDB且PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB.

（2)證明 ∵PD⊥底面ABCD，且DC底面ABCD，

∴PD⊥DC.∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形.

而DE是斜邊PC的中線，∴DE⊥PC.①

同樣，由PD⊥底面ABCD，BC平面ABCD，

得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC.又PD∩CD＝D，

∴BC⊥平面PDC.

而DE平面PDC，∴BC⊥DE.②

由①和②且PC∩BC＝C可推得DE⊥平面PBC.

而PB平面PBC，∴DE⊥PB.

又EF⊥PB且DE∩EF＝E，

∴PB⊥平面EFD.

（3)解 由（2)知，PB⊥DF.

故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.

由（2)知DE⊥EF，PD⊥DB.

設(shè)正方形ABCD的邊長為a，

則PD＝DC＝a，BD＝a，

PB＝a，PC＝a，DE＝a，

在Rt△PDB中，DF＝a.

在Rt△EFD中，sin∠EFD＝，

∴∠EFD＝60°.

∴二面角C－PB－D的大小為60°.