Question

20．已知橢圓方程為$\frac{1}{9}{x^2}+{y^2}$=1，過左焦點作傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線交橢圓于A，B兩點，
（1）求弦AB的長；
（2）求△ABO的面積．

Answer 1

分析 （1）左焦點F（$-2\sqrt{2}$，0），直線AB方程為：$y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2\sqrt{2}）$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為$4{x^2}+12\sqrt{2}x+15=0$，再利用弦長公式即可得出．
（2）利用點到直線的距離公式可得：點O到直線AB的距離d．利用S=$\frac{1}{2}d|AB|$即可得出．

解答 解：（1）左焦點F（$-2\sqrt{2}$，0），
直線AB方程為：$y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2\sqrt{2}）$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2\sqrt{2}）}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，化為$4{x^2}+12\sqrt{2}x+15=0$，
∴x₁+x₂=$-3\sqrt{2}$，x₁x₂=$\frac{15}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{[1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}][（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{4}{3}×[（3\sqrt{2}）^{2}-4×\frac{15}{4}]}$=2．
（2）∵點O到直線AB的距離d=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}×2\sqrt{2}}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}d|AB|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積計算公式、弦長公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．