Question

已知點(diǎn)P（x，y）是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的動(dòng)點(diǎn)，用線性規(guī)劃求2x+3y的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y，P代表橢圓上動(dòng)點(diǎn)，直線則代表目標(biāo)函數(shù)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，在直線移動(dòng)的過(guò)程中，直線越往上移動(dòng)，所代表的截距越大，那么目標(biāo)函數(shù)值z(mì)也越大，反之則越�。�由此我們可以得出在相切時(shí)，z分別取到最大最小值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y，P代表橢圓上動(dòng)點(diǎn)，直線則代表目標(biāo)函數(shù)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，在直線移動(dòng)的過(guò)程中，直線越往上移動(dòng)，所代表的截距越大，那么目標(biāo)函數(shù)值z(mì)也越大，反之則越�。�
由此我們可以得出在相切時(shí)，z分別取到最大最小值，圖象如下．


為了研究相切時(shí)的情況，我們可以聯(lián)立橢圓和直線的方程，得到二次方程，8x²-4zx+z²-36=0
由于相切時(shí)方程有且僅有一解，所以令判別式△=0
得到16z²-32（z²-36）=0
即z²=72，此時(shí)z=±6

2

所以，z_max=6

2

，z_min=-6

2

因此目標(biāo)函數(shù)2x+3y的取值范圍是[-6

2

，6

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查線性規(guī)劃知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．