Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₇=4，a_n+1=

3an+4

7-an

．
（1）是否存在自然數(shù)m，使得當(dāng)n≥m時(shí)，a_n＜2；當(dāng)n＜m時(shí)，a_n＞2？
（2）是否存在自然數(shù)p，使得當(dāng)n≥p時(shí)，總有

an-1+an+1

2

＜a_n？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,壓軸題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意，化簡a_n+1=

3an+4

7-an

為1-

5

an-2

+

5

an+1-2

=0，從而說明{

5

an-2

}是以-1為公差的等差數(shù)列，從而求出a_n=

10

19-2n

+2，從而找到m；
（2）由（1）知a_n-1+a_n+1-2a_n=

10

21-2n

+

10

17-2n

-2

10

19-2n

化簡即可．

解答： 解：（1）∵a_n+1=

3an+4

7-an

，
∴a_na_n+1-7a_n+1+3a_n+4=0，
即（a_n-2）（a_n+1-2）-5（a_n+1-2）+5（a_n-2）=0，
可知若a_n=2，則a_n+1=2，與a₇=4相矛盾，故a_n≠2，
則1-

5

an-2

+

5

an+1-2

=0，
∴{

5

an-2

}是以-1為公差的等差數(shù)列，
∴

5

an-2

=

5

4-2

-（n-7）=

19-2n

2

，
∴a_n=

10

19-2n

+2，
∴當(dāng)m=10時(shí)，滿足當(dāng)n≥m時(shí)，a_n＜2；當(dāng)n＜m時(shí)，a_n＞2，
（2）∵a_n=

10

19-2n

+2，
∴a_n-1+a_n+1-2a_n=

10

21-2n

+

10

17-2n

-2

10

19-2n

=

10

(21-2n)(19-2n)(17-2n)

[（19-2n）（17-2n）+（21-2n）（19-2n）-2（21-2n）（17-2n）]
=8•

10

(21-2n)(19-2n)(17-2n)

，
則當(dāng)n≥11時(shí)，8•

10

(21-2n)(19-2n)(17-2n)

＜0，
即

an-1+an+1

2

＜a_n
則存在自然數(shù)P（P可以是11），使得當(dāng)n≥p時(shí)，總有

an-1+an+1

2

＜a_n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，構(gòu)造成等差數(shù)列，再解答問題，化簡非常困難，要細(xì)心，屬于壓軸題．