Question

某高校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院在2014年11月11日“雙11購(gòu)物節(jié)”期間，對(duì)[25，55]歲的人群隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查，得到各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖，同時(shí)對(duì)這1000人是否參加“商品搶購(gòu)”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表．

組數(shù)	分組	搶購(gòu)商店的人數(shù)	占本組的頻率
第一組	[25，30]	120	0.6
第二組	（30，35]	195	p
第三組	（35，40]	100	0.5
第四組	（40，45]	a	0.4
第五組	（45，50]	30	0.3
第六組	（50，55]	15	0.3

（Ⅰ）求統(tǒng)計(jì)表中a和p的值；
（Ⅱ）從年齡落在（40，50]內(nèi)的參加“搶購(gòu)商品”的人群中，采用分層抽樣法抽取9人參加滿意度調(diào)查，①設(shè)從年齡落在（40，45]和（45，50]中抽取的人數(shù)分別為m、n，求m和n的值；②在抽取的9人中，有3人感到“滿意”的3人中年齡在（40，45]內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出年齡在[40，45）的人數(shù)為150人，由此能求出a和p的值．
（Ⅱ）①依題利用分層抽樣法能求出m，n．
②由題意X=0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和E（X）．

解答： 解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）因?yàn)榭側(cè)藬?shù)為1000人，
所以年齡在[40，45）的人數(shù)為1000×5×0.03=150人，
所以 a=150×0.4=60，
因?yàn)槟挲g在[30，35）的人數(shù)的頻率為1-5×（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3，
所以年齡在[30，35）的人數(shù)為1000×0.3=300人，
所以p=

195

300

=0.65．…（6分）
（Ⅱ）①依題抽取年齡在[40，45）之間的人數(shù)m=9×

60

60+30

=6人，
抽取年齡在[45，50）之間的人數(shù)n=9×

30

60+30

=3人，
由題設(shè)知X=0，1，2，3，
P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和E（X）．依題利用分層抽樣法能求出m，n．
②由題意X=0，1，2，3，
P（X=0）=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

，
P（X=1）=

C 1 6 C 2 3

C 3 9

=

18

84

，
P（X=2）=

C 2 6 C 1 3

C 3 9

=

45

84

，
P（X=3）=

C 3 6

C 3 9

=

20

84

，
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	1 84	18 84	45 84	20 84

所以E（X）=0×

1

84

+1×

18

84

+2×

45

84

+3×

20

84

=2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查頻率分布直方圖、概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，數(shù)據(jù)處理能力．