Question

已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a為任意實(shí)數(shù)
（1）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有極值1，求a的值；
（2）若函數(shù)G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在區(qū)間（0，1）為增函數(shù)，求a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有極值1，即可求a的值；
（2）由函數(shù)G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在區(qū)間（0，1）為增函數(shù)，可得-acos（1-x）+

1

x

≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，分離參數(shù)求最值，即可求a的范圍．

解答： 解：（1）由題意，x＞0，F(xiàn)′（x）=

ax-1

x

①a≤0，F(xiàn)′（x）＜0恒成立，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，函數(shù)無極值；
②a＞0，F(xiàn)′（x）＞0，可得x＞

1

a

，F(xiàn)′（x）＜0，可得x＜

1

a

，
∴x=

1

a

時(shí)，取得極小值，
∵函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有極值1，
∴1-ln

1

a

=1，∴a=1；
（2）G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，
∴G′（x）=-acos（1-x）+

1

x

，
∵函數(shù)G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在區(qū)間（0，1）為增函數(shù)，
∴-acos（1-x）+

1

x

≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，
∴

1

x

≥acos（1-x）在區(qū)間（0，1）上恒成立，
∴a≤

1

xcos(1-x)

在區(qū)間（0，1）上恒成立，
令h（x）=xcos（1-x），x∈（0，1），則h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
∴h（x）在區(qū)間（0，1）為增函數(shù)，
∴0＜xcos（1-x）＜1，
∴

1

xcos(1-x)

＞1，
∴a≤1．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查恒成立問題，正確分離參數(shù)求最值是關(guān)鍵．