Question

9．對(duì)定義域分別是D_f，D_g的函數(shù)y=f（x），y=g（x），規(guī)定：函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）•g（x）}&{當(dāng)x∈{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\\{f（x）}&{當(dāng)x∈{D}_{f}且x∉{D}_{g}}\\{g（x）}&{當(dāng)x∉{D}_{f}且x∈{D}_{g}}\end{array}\right.$．
（1）若函數(shù)f（x）=-2x+3，x≥1，g（x）=x-2，x∈R，寫(xiě)出函數(shù)h（x）的解析式；
（2）求問(wèn)題（1）中函數(shù)h（x）的最大值；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，π]，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x），及一個(gè)α的值，使得h（x）=cos2x，并予以證明．

Answer 1

分析 （1）由于函數(shù)f（x）=-2x+3，g（x）=x-2，對(duì)x進(jìn)行分類討論：當(dāng)x≥1時(shí)，h（x）=f（x）g（x）；當(dāng)x＜1時(shí)，h（x）=g（x）=x-2．從而得出h（x）的解析式；
（2）分段函數(shù)的值域分段求，所以分別求出x≥1和x＜1時(shí)的值域，最后取并集即得函數(shù)h（x）的值域，則最大值可求．
（3）令 $f（x）=sinx+cosx，α=\frac{π}{2}$，或令 $f（x）=1+\sqrt{2}sinx，α=π$，驗(yàn)證可得．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=-2x+3，g（x）=x-2，根據(jù)題意得：
當(dāng)x≥1時(shí)，h（x）=f（x）g（x）=（-2x+3）（x-2）=-2x²+7x-6；
當(dāng)x＜1時(shí)，h（x）=g（x）=x-2．
所以h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+7x-6，}&{x≥1}\\{x-2，}&{x＜1}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，h（x）=-2x²+7x-6=-2（x-$\frac{7}{4}$）²+$\frac{1}{8}$，
因此，當(dāng)x=$\frac{7}{4}$時(shí)，h（x）最大，h（x）的最大值為$\frac{1}{8}$．
若x＜1時(shí)，h（x）=x-2＜1-2=-1．
∴函數(shù)h（x）的最大值為$\frac{1}{8}$．
（3）令 $f（x）=sinx+cosx，α=\frac{π}{2}$
則$g（x）=f（x+\frac{π}{2}）=sin（x+\frac{π}{2}）+cos（x+\frac{π}{2}）=cosx-sinx$
∴$h（x）=f（x）f（x+\frac{π}{2}）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos2x$．
另解：令 $f（x）=1+\sqrt{2}sinx，α=π$，
則 $g（x）=f（x+π）=1+\sqrt{2}sin（x+π）=1-\sqrt{2}sinx$
于是$h（x）=f（x）f（x+π）=（1+\sqrt{2}sinx）（1-\sqrt{2}sinx）=cos2x$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的新定義，求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．