Question

19．F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，直線l：y=2x+5與橢圓C交于P₁，P₂，已知橢圓中心O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在橢圓C的左準(zhǔn)線上，且|P₂F₂|-|P₁F₁|=$\frac{10}{9}$a，則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 求出橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求橢圓C的左準(zhǔn)線方程，得到$-\frac{{a}^{2}}{c}$=-4，再把y=2x+5代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合|P₂F₂|-|P₁F₁|=$\frac{10}{9}$a，求出a，b，c的另一等式，再結(jié)合隱含條件即可求橢圓C的方程．

解答 解：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x}•2=-1}\\{\frac{y}{2}=2•\frac{x}{2}+5}\end{array}\right.$，
∴x=-4，y=2，
∴橢圓C的左準(zhǔn)線方程為x=-4，
∴橢圓C的左準(zhǔn)線方程為x=-4，即-$\frac{{a}^{2}}{c}$=-4，①
聯(lián)立直線l與橢圓方程，得：（4a²+b²）x²+20a²x+25a²-a²b²=0，
設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{20{a}^{2}}{4{a}^{2}+^{2}}$，
由焦半徑公式可得：|P₂F₂|=a-ex₂，|P₁F₁|=a+ex₁，
∴|P₂F₂|-|P₁F₁|=a-ex₂-a-ex₁
=-e（x₁+x₂）
=-$\frac{c}{a}$•（-$\frac{20{a}^{2}}{4{a}^{2}+^{2}}$）
=$\frac{10}{9}$a，②
又∵a²=b²+c²，③
聯(lián)立①②③解得：a²=8，b²=4，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．