Question

如圖在△ABC中，已知∠A=

π

3

，BC=4

3

，D為AB上一點(diǎn)．
（Ⅰ）若CD=2，S_△BDC=2

3

，求BD長；
（Ⅱ）若AC=AD，求△BCD周長的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：（Ⅰ）利用面積公式求得sin∠BCD的值，進(jìn)而求得∠BCD，然后利用余弦定理求得BD．
（Ⅱ）利用正弦定理分別表示出DC，BD的關(guān)系式，進(jìn)而與BC相加表達(dá)出三角形的周長，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值．

解答： ．解：（Ⅰ）∵S_△BDC=

1

2

BC•CD•sin∠BCD=2

3

，
∴sin∠BCD=

1

2

∴∠BCD=

π

6

∵在△BCD中，由余弦定理得BD²=BC²+CD²-2BD•CD•cos∠BCD=4+48-2×2×4

3

×

3

2

=28，
∴BD=2

7

．
（Ⅱ）∵AC=AD，∠A=

π

3

，
∴△ACD為正三角形，
在△BCD中，由正弦定理得

DC

sinB

=

BD

sin( π 3 -B)

=

BC

sin∠BDC

=8
∴DC=8sinB，BD=8sin（

π

3

-B），
∴△BCD周長為BD+DC+BC=4

3

+8sinB+8sin（

π

3

-B）=8sin（B+

π

3

）+4

3

，
∵∠BDC=

2π

3

，
∴0＜∠B＜

π

3

，
∴

π

3

＜∠B+

π

3

＜

2π

3

，
∴當(dāng)∠B+

π

3

=

π

2

，即∠B=

π

6

時(shí)，
△BDC周長取得最大值，最大值為8+4

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．考查了基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．