Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2asinxcosx-1的圖象關(guān)于直線x=

π

8

對(duì)稱．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移k（k＞0）個(gè)單位后與函數(shù)g（x）=

2

sin2x的圖象重合，求k的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的對(duì)稱性,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=2cos²x+2asinxcosx-1的圖象關(guān)于直線x=

π

8

對(duì)稱，可得f（0）=f（

π

4

），即可求a的值；
（II）先化簡函數(shù)，再按照?qǐng)D象平移的規(guī)律，利用把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移k（k＞0）個(gè)單位后與函數(shù)g（x）=

2

sin2x的圖象重合，即可求k的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2cos²x+2asinxcosx-1的圖象關(guān)于直線x=

π

8

對(duì)稱，
∴f（0）=f（

π

4

），
∴2-1=1+a-1，∴a=1；
（Ⅱ）f（x）=2cos²x+2asinxcosx-1=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），
函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移k（k＞0）個(gè)單位后，得到g（x）=

2

sin[2（x-k）+

π

4

）]=

2

sin（2x-2k+

π

4

）=

2

sin2x，
∴k的最小值為

π

8

．

點(diǎn)評(píng)：解決三角函數(shù)的性質(zhì)問題，應(yīng)該先利用三角函數(shù)的公式化簡三角函數(shù)為一個(gè)角一個(gè)函數(shù)的形式；圖象的平移遵循左加右減上原則．