Question

已知函數(shù)f(x)=|x-a|-

9

x

+a，x∈[1，6]，a∈R．
（1）若a=6，寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，a]上單調(diào)，且存在x₀∈[1，a]使f（x₀）＞-2成立，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a∈（1，6）時，求函數(shù)f（x）的最大值的表達式M（a）．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=6時，由x∈[1，6]，化簡f（x），用單調(diào)性定義討論f（x）的增減性；
（2）當(dāng)x∈[1，a]時，化簡f（x），由（1）知，x∈[1，3）時，f（x）單調(diào)增，即a∈（1，3]時，f（x）在[1，a]上單調(diào)增，由題意f（x）_max＞-2，求得a的取值范圍；
（3）由1＜a＜6，將f（x）化為f（x）=

2a-x- 9 x   …(1≤x≤a) x- 9 x    …(a＜x≤6)

，分1＜a≤3與3＜a＜6討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求得f（x）的最大值M（a）．

解答：解：（1）當(dāng)a=6時，∵x∈[1，6]，∴f（x）=a-x-

9

x

+a=2a-x-

9

x

；任取x₁，x₂∈[1，6]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（2a-x₁-

9

x1

）-（2a-x₂-

9

x2

）=（x₂-x₁）+（

9

x2

-

9

x1

）=（x₂-x₁）•

x1x2-9

x1x2

，
當(dāng)1≤x₁＜x₂＜3時，x₂-x₁＞0，1＜x₁x₂＜9，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）是增函數(shù)，增區(qū)間是[1，3）；
當(dāng)3≤x₁＜x₂≤6時，x₂-x₁＞0，x₁x₂＞9，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）是減函數(shù)，減區(qū)間是[3，6]；
（2）當(dāng)x∈[1，a]時，f（x）=a-x-

9

x

+a=-x-

9

x

+2a；
由（1）知，當(dāng)x∈[1，3）時，f（x）是增函數(shù)，當(dāng)x∈[3，6]時，f（x）是減函數(shù)；
∴當(dāng)a∈（1，3]時，f（x）在[1，a]上是增函數(shù)；
且存在x₀∈[1，a]使f（x₀）＞-2成立，
∴f（x）_max=f（a）=a-

9

a

＞-2，
解得a＞

10

-1；
綜上，a的取值范圍是{a|

10

-1＜a≤3}．
（3）∵a∈（1，6），∴f（x）=

2a-x- 9 x   …(1≤x≤a) x- 9 x    …(a＜x≤6)

，
①當(dāng)1＜a≤3時，f（x）在[1，a]上是增函數(shù)，在[a，6]上也是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=6時，f（x）取得最大值

9

2

．
②當(dāng)3＜a＜6時，f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，在[3，a]上是減函數(shù)，在[a，6]上是增函數(shù)，
而f（3）=2a-6，f（6）=

9

2

，
當(dāng)3＜a≤

21

4

 時，2a-6≤

9

2

，當(dāng)x=6時，f（x）取得最大值為

9

2

．
當(dāng)

21

4

≤a＜6時，2a-6＞

9

2

，當(dāng)x=3時，f（x）取得最大值為2a-6．
綜上得，M（a）=

9 2    …(1≤a≤ 21 4 ) 2a-6  …( 21 4 ＜a≤6)

．

點評：本題考查了含絕對值的函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明以及函數(shù)的最值的求法問題，也考查了分類討論思想與化歸思想，是難題．