Question

如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，，．

（1）證明：平面；

（2）若是棱的中點(diǎn)，在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面？證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析.（2）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面．證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）要證明線(xiàn)面垂直，須證明直線(xiàn)與平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，一般要遵循“先找再作”的原則，對(duì)圖形進(jìn)行細(xì)致分析是關(guān)鍵.注意到，得到．

由側(cè)棱底面，得到．從而得到平面．，

利用，得到．結(jié)合四邊形為正方形．

得到．推出平面．

（2）對(duì)于這類(lèi)存在性問(wèn)題，往往是先通過(guò)對(duì)圖形的分析，找“特殊點(diǎn)”，肯定其存在性，再加以證明.

注意到當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連、、，利用三角形相似，得到平面及平面，利用平面平面．推出平面．

試題解析：（1）∵，∴．

∵側(cè)棱底面，∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴，

∵，則．                                      4分

在中，，，∴．

∵，∴四邊形為正方形．

∴．                                                   6分

∵，∴平面．                            7分

（2）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面．                   9分

證明如下：

如圖，取的中點(diǎn)，連、、，

∵、、分別為、、的中點(diǎn)，

∴．

∵平面，平面，

∴平面．　　　　                 11分

同理可證平面．                    12分

∵，

∴平面平面．                    13分

∵平面，

∴平面．                           14分

考點(diǎn)：立體幾何的平行關(guān)系與垂直關(guān)系