Question

15．如圖所示，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為矩形，底面CDEF為直角梯形，且平面ABCD⊥平面CDEF，CF∥DE，CD⊥DE，AB=2BC=2CF=2，DE=3CF．
（1）試問(wèn)：線(xiàn)段AE上是否存在一點(diǎn)P，使得PF∥平面ABCD？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若P是AE的中點(diǎn)，求三棱錐P-CEF的體積．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，線(xiàn)段AE上存在一點(diǎn)P，使得PF∥平面ABCD．分別在AE，AD上取一點(diǎn)P，N，使得$\frac{AP}{AE}=\frac{AN}{AD}$=$\frac{1}{3}$，連接PN．可得PN=$\frac{1}{3}$DE=1，PN∥DE，已知CF∥DE，CF=$\frac{1}{3}$DE．即可證明四邊形PNCF是平行四邊形，再利用線(xiàn)面平行的判定定理即可證明．
（2）四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面CDEF，可得：AD⊥平面CDEF，在直角梯形CDEF中，可得S_△CEF=$\frac{1}{2}CF•CD$，又P是AE的中點(diǎn)，V_P-CEF=$\frac{1}{2}{V}_{A-CEF}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}{S}_{△CEF}$•AD，即可得出．

解答 （1）解：如圖所示，線(xiàn)段AE上存在一點(diǎn)P，使得PF∥平面ABCD．
分別在AE，AD上取一點(diǎn)P，N，使得$\frac{AP}{AE}=\frac{AN}{AD}$=$\frac{1}{3}$，連接PN．
則PN=$\frac{1}{3}$DE=1，PN∥DE，又CF∥DE，CF=$\frac{1}{3}$DE．
∴PN$\underset{∥}{=}$CF，
∴四邊形PNCF是平行四邊形，
∴PF∥CN，又NC?平面ABCD，PF?平面ABCD，
∴PF∥平面ABCD．
（2）解：∵四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面CDEF，
∴AD⊥平面CDEF，
在直角梯形CDEF中，∵CD⊥CF．
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}CF•CD$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$．又P是AE的中點(diǎn)，
∴V_P-CEF=$\frac{1}{2}{V}_{A-CEF}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}{S}_{△CEF}$•AD
=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×1$
=$\frac{1}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線(xiàn)面面面的位置關(guān)系、平行線(xiàn)與平行四邊形的性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．