Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-ax．
（1）若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線過點（2，0），求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）如果x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數(shù)f（x）的兩個零點，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)，證明：f′（

x1+2x2

3

）＜0．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）在點（1，f（1））處的切線方程，把點（2，0）的坐標(biāo)代入方程，求出a的值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），討論a的值，在f′（x）＞0時，f（x）增，f′（x）＜0時，f（x）減，從而得出單調(diào)區(qū)間；
（3）由題意，求出f′（

x1+2x2

3

）的表達式，根據(jù)它的表達式，利用構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，求出函數(shù)最值的方法證明f′（

x1+2x2

3

）＜0即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=2lnx-ax，（x＞0）；
∴f′（x）=

2

x

-a，∴f′（1）=2-a；
又∵f（1）=-a，
∴曲線在點（1，f（1））處的切線方程為
y-（-a）=（2-a）（x-1），
即y+a=（2-a）（x-1）；
又切線過點（2，0），
∴0+a=（2-a）（2-1），解得a=1；
（2）由（1）知，f′（x）=

2

x

-a，（x＞0），
①當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＞0時，令f′（x）＞0，得x∈（0，

2

a

），∴f（x）在（0，

2

a

）上是增函數(shù)，
令f′（x）＜0，得x∈（

2

a

，+∞），∴f（x）在（

2

a

，+∞）上是減函數(shù)；
∴當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），
當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，

2

a

），單調(diào)減區(qū)間是（

2

a

，+∞）；
（3）由題意知，
f（x₁）=0，f（x₂）=0，
即

2lnx1-ax1=0 2lnx2-ax2=0

；
則2lnx₂-2lnx₁=a（x₂-x₁），∴a=

2ln x2 x1

x2-x1

；
又∵f′（x）=

2

x

-a，
∴f′（

x1+2x2

3

）=

6

x1+2x2

-a=

6

x1+2x2

-

2ln x2 x1

x2-x1

；
要使f′（

x1+2x2

3

）＜0，只要

6

x1+2x2

-

2ln x2 x1

x2-x1

＜0（*）；
∵x₂＞x₁＞0，∴x₂-x₁＞0，x₁+2x₂＞0，
（*）式可化為

3(x2-x1)

x1+2x2

-ln

x2

x1

＜0，
∴

3( x2 x1 -1)

2• x2 x1 +1

-ln

x2

x1

＜0，
令t=

x2

x1

，則t＞1，構(gòu)造函數(shù)h（t）=

3(t-1)

2t+1

-lnt，
則h′（t）=

9

(2t+1)2

-

1

t

=-

(4t-1)(t-1)

t(2t+1)2

，
顯然t＞1時，h′（t）＜0，即h（t）在[1，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（t）＜h（1）=0，即證f′（

x1+2x2

3

）＜0．

點評：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，解題時應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值問題，是綜合題．