Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+a_n=-

1

2

n²-

3

2

n+1（n∈N^*），設(shè)b_n=a_n+n．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）設(shè)c_n=（

1

2

）ⁿ-a_n，d_n=

cn2+cn+1

cn2+cn

，若數(shù)列{d_n}的前2013項(xiàng)和為P，求不超過P的最大的整數(shù)值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）易求a₁，n≥2時(shí)，S_n-1+a_n-1=-

1

2

（n-1）²-

3

2

（n-1）+1，兩式相減可得2a_n-a_n-1=-n-1，整理得2（a_n+n）=a_n-1+n-1，從而有b_n=

1

2

b_n-1（n≥2），于是得到結(jié)論；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位想減法可求得T_n；
（Ⅲ）易求a_n，c_n，從而得

cn2+cn+1

cn2+cn

=1+

1

cn2+cn

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)相消法可求得P，進(jìn)而可得結(jié)果；

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)镾_n+a_n=-

1

2

n²-

3

2

n+1（n∈N^*），所以
①當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=-1，則a₁=-

1

2

，
②當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1+a_n-1=-

1

2

（n-1）²-

3

2

（n-1）+1，
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
所以b_n=

1

2

b_n-1（n≥2），而b₁=a₁+1=

1

2

，
所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以bn=(

1

2

)n，nb_n=

n

2n

．
所以  ①T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
②2T_n=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，
②-①得：T_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

，T_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知an=(

1

2

)n-n，∴c_n=n，
∴

cn2+cn+1

cn2+cn

=1+

1

cn2+cn

=1+

1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，
所以P=（1+1-

1

2

）+（1+

1

2

-

1

3

）+（1+

1

3

-

1

4

）+…+（1+

1

2013

-

1

2014

）=2014-

1

2014

，
故不超過P的最大整數(shù)為2013．

點(diǎn)評(píng)：該題考查等比關(guān)系的確定、數(shù)列的求和，裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握．