Question

省少年籃球隊(duì)要從甲、乙兩所體校選拔隊(duì)員．現(xiàn)將這兩所體校共20名學(xué)生的身高繪制成如下莖葉圖（單位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個(gè)子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個(gè)子”．
（Ⅰ）用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取5人，如果從這5人中隨機(jī)選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？
（Ⅱ）若從所有“高個(gè)子”中隨機(jī)選3名隊(duì)員，用ξ表示乙校中選出的“高個(gè)子”人數(shù)，試求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由莖葉圖知這20名學(xué)生中有“高個(gè)子”8人，“非高個(gè)子”12人，用分層抽樣抽樣的方法從中抽取5人，應(yīng)從“高個(gè)子”中抽取2人，從“非高個(gè)子”中抽取3人，由此能求出從這5人中隨機(jī)選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率．
（Ⅱ）依題意知，從乙校中選出“高個(gè)子”的人數(shù)ξ的所有可能值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）由莖葉圖知這20名學(xué)生中有“高個(gè)子”8人，“非高個(gè)子”12人，
用分層抽樣抽樣的方法從中抽取5人，
應(yīng)從“高個(gè)子”中抽取

5

20

×8=2人，從“非高個(gè)子”中抽取

5

20

×12=3人，
用A表示“到少有一名高個(gè)子被選中”，則

.

A

表示“沒有一名高個(gè)子被選中”，
∴P（A）=1-P（

.

A

）=1-

C 2 3

C 2 5

=1-

3

10

=

7

10

．
（Ⅱ）依題意知，從乙校中選出“高個(gè)子”的人數(shù)ξ的所有可能值為0，1，2，3，
由超幾何分布公式得：P(ξ=0)=

C 0 4 C 3 4

C 3 8

=

1

14

，P(ξ=1)=

C 1 4 C 2 4

C 3 8

=

3

7

，P(ξ=2)=

C 2 4 C 1 4

C 3 8

=

3

7

，P(ξ=3)=

C 3 4 C 0 4

C 3 8

=

1

14

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 14	3 7	3 7	1 14

∴Eξ=0×

1

14

+1×

3

7

+2×

3

7

+3×

1

14

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意莖葉圖的合理運(yùn)用．