Question

為響應(yīng)國(guó)家擴(kuò)大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2014年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用t（t≥0）萬(wàn)元滿足x=7-

k

t+1

（k為常數(shù)）．如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬(wàn)件．已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入12萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分）．
（1）將該廠家2014年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用t萬(wàn)元的函數(shù)；并求年促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家利潤(rùn)最大？
（2）若規(guī)定年促銷費(fèi)用不能超過(guò)2萬(wàn)元，則年產(chǎn)量為多少時(shí)，廠家利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）先求出k的值，再根據(jù)產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分，可得該廠家2013年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用t萬(wàn)元的函數(shù)；即有y=45-

36

t+1

-t=45-(

36

t+1

+t+1)+1，利用基本不等式，可求該廠家2014年的廠家利潤(rùn)最大．
（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)y在0＜t≤2為減函數(shù)，則當(dāng)t=2時(shí)，x=5，y最大且為31．

解答： 解：（1）由題意有1=7-

k

1

，得k=6，故x=7-

6

t+1

．
故y=1.5×

6+12x

x

×x-（6+12x）-t，
=3+6x-t=3+6(7-

6

t+1

)-t=45-

36

t+1

-t（t≥0）．
即有y=45-

36

t+1

-t=45-(

36

t+1

+t+1)+1，
由基本不等式得，

36

t+1

+t+1≥2

36

=12，
當(dāng)且僅當(dāng)

36

t+1

=t+1，即t=5時(shí)等號(hào)成立．
故y=45-

36

t+1

-t=45-(

36

t+1

+t+1)+1=46-(

36

t+1

+t+1)≤46-12=34，
當(dāng)且僅當(dāng)t=5時(shí)，y有最大值34，
所以2014年的年促銷費(fèi)用投入5萬(wàn)元時(shí)，該廠家利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為34萬(wàn)元．
（2）由y=45-

36

t+1

-t=45-(

36

t+1

+t+1)+1，且0＜t≤2，
則y′=

36

(t+1)2

-1＜0，即y為減函數(shù)，則當(dāng)t=2時(shí)，x=5，y最大且為31．
則年產(chǎn)量為5萬(wàn)件時(shí)，廠家利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為31萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的建立，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．