Question

7．已知直線l過(guò)點(diǎn)（1，0），且與直線x-y+1=0垂直，若直線l與圓C：x²+y²+2y-3=0相交于A、B兩點(diǎn)，則△ABC的面積為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求出直線l的方程，再求出圓心C與半徑r，計(jì)算圓心到直線l的距離d，求出弦長(zhǎng)|AB|，再計(jì)算△ABC的面積．

解答 解：∵直線l過(guò)點(diǎn)（1，0），且與直線x-y+1=0垂直，
設(shè)直線l的方程為x+y+m=0，
∴1+0+m=0，
解得m=-1，
∴直線l的方程為x+y-1=0；
又圓C：x²+y²+2y-3=0，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程是x²+（y+1）²=4，
∴圓心C（0，-1），半徑r=2，
且圓心C到直線l的距離為：
d=$\frac{|0-1-1|}{\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴弦長(zhǎng)|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面積為S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問(wèn)題，考查了兩條直線垂直以及直線與圓相交所得弦長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．