在直角坐標系xOy中，直線l與x軸正半軸和y軸正半軸分別相交于A，B兩點，△AOB的內(nèi)切圓為⊙M．
（1）如果⊙M半徑為1，l與⊙M切于點，求直線l的方程；
（2）如果⊙M半徑為1，證明當△AOB的面積、周長最小時，此時△AOB為同一三角形；
（3）如果l的方程為，P為⊙M上任一點，求PA2+PB2+PO2的最值．
【答案】分析：（1）先求得圓心與切點連線的斜率再由兩者互為負倒數(shù)求得．進而求得直線l的方程；
（2）設(shè)A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），直線AB的方程為：：bx+ay-ab=0．圓心到該直線的距離為，整理得（a-2）（b-2）=2，有ab-2（a+b）+2=0，再由基本不等式得，
．三角形面積，周長．取得最值的條件一致．所以△AOB為同一三角形．
（3）l的方程為，解得，P（m，n）為圓上任一點，=．
又因為（m-1）2+（n-1）2=1，m2+n2=2（m+n）-1，，所以代入上式求解即可．
解答：解：（1），（1分），．．
（2）設(shè)A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），
l：bx+ay-ab=0.，
（a-2）（b-2）=2，ab-2（a+b）+2=0，，，（6分）
．當且僅當時，．
面積，
此時△AOB為直角邊長為的等腰直角三角形．
周長．
此時△AOB為直角邊長為的等腰直角三角形．
∴此時的△AOB為同一三角形．

（3）l的方程為，得，
⊙M：（x-1）2+（y-1）2=1，設(shè)P（m，n）為圓上任一點，
則：（m-1）2+（n-1）2=1，m2+n2=2（m+n）-1，，．=．
當時，．
此時，．
當時，．
此時，．
點評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及其方程的應(yīng)用，還考查了用解析法研究三角形面積，周長及線段長的最值問題，
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知點P（2cosx+1，2cos2x+2）和點Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動點P在射線OA上運動，動點Q在y軸的正半軸上運動，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動點，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個焦分別為F1，F(xiàn)2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個頂點為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點B關(guān)于直線l 的對稱點落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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