Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ，設(shè)直線L的參數(shù)方程是

x=-t+1 y=t

（t為參數(shù)）．
（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線L與x軸的交點(diǎn)是M，N為曲線C上一動點(diǎn)，求|MN|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（2）直線L的普通方程為x+y=1，則點(diǎn)M（1 0），令點(diǎn)N（cosθ，1+sinθ），0≤θ＜2π，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得|MN|的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求得它的最大值．

解答： 解：（1）根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，把曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2sinθ，
化為直角坐標(biāo)方程為：x²+y²=2y．
（2）直線L的普通方程為x+y=1，則點(diǎn)M（1 0）．
令點(diǎn)N（cosθ，1+sinθ） 0≤θ＜2π，
則|MN|=

(cos-1)2+(sinθ+1)2

=

2 2 sin(θ- π 4 )+3

  再根據(jù)-

π

4

≤θ-

π

4

＜

7π

4

，
可得當(dāng)θ-

π

4

=

π

2

時，|MN|取得最大值為1+

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，兩點(diǎn)間的距離公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．