【題目】已知點(diǎn)與兩個定點(diǎn)距離的比是一個正數(shù).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;
(2)當(dāng)時得曲線的方程,把曲線向左平移三個單位長度得到曲線,已知點(diǎn),,點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),求的最小值;
(3)若直線與曲線交于C、D兩點(diǎn),點(diǎn)是x軸上的點(diǎn),使得恒為定值,求點(diǎn)P的坐標(biāo)和定值.
【答案】(1)當(dāng)時,,此時軌跡為軸所在的直線;
當(dāng)時,可得:,此時軌跡為以為圓心,為半徑的圓;
(2);(3)點(diǎn)P的坐標(biāo),定值為.
【解析】
(1)由題意得:, 對其化簡,分與進(jìn)行討論可得答案;
(2)代入可得曲線的方程,由題意可得曲線的方程,點(diǎn)的坐標(biāo)為,可得與,由平面向量和三角函數(shù)知識,可得的最小值;
(3)設(shè)C、D兩點(diǎn)坐標(biāo),,即,,聯(lián)立直線與圓,用與表示,由恒為定值,可得的值,可得答案.
解:(1)由題意得:,
化簡可得:,
當(dāng)時,,此時軌跡為軸所在的直線;
當(dāng)時,可得:,
此時軌跡為以為圓心,為半徑的圓;
(2)時,可得曲線的方程為:,
由曲線向左平移三個單位長度得到曲線,可得的方程為:,
點(diǎn)的坐標(biāo)為,由點(diǎn),,
可得,,
故可得:
,其中,
可得的最小值為:;
(3)由(2)可得曲線的方程為:,
由直線與曲線交于C、D兩點(diǎn),設(shè)C、D兩點(diǎn)坐標(biāo),,
即,,
聯(lián)立直線與圓,可得
可得:,,
由點(diǎn),可得,,
可得:,
可得,
由恒為定值,故與的值無關(guān),故可得
點(diǎn)P的坐標(biāo),定值為.
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(Ⅰ)求取出的兩個球上標(biāo)號為相同數(shù)字的概率;
(Ⅱ)求取出的兩個球上標(biāo)號之積能被3整除的概率.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=+.
(1)當(dāng)m=0時,求不等式f(x)≤9的解集;
(2)當(dāng)m=2時,若x∈(1,4),f(x) 2xa<0,求a的取值范圍.
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【題目】某“雙一流”大學(xué)專業(yè)獎學(xué)金是以所學(xué)專業(yè)各科考試成績作為評選依據(jù),分為專業(yè)一等獎學(xué)金(獎金額元)、專業(yè)二等獎學(xué)金(獎金額元)及專業(yè)三等獎學(xué)金(獎金額元),且專業(yè)獎學(xué)金每個學(xué)生一年最多只能獲得一次.圖(1)是統(tǒng)計(jì)了該校年名學(xué)生周課外平均學(xué)習(xí)時間頻率分布直方圖,圖(2)是這名學(xué)生在年周課外平均學(xué)習(xí)時間段獲得專業(yè)獎學(xué)金的頻率柱狀圖.
(Ⅰ)求這名學(xué)生中獲得專業(yè)三等獎學(xué)金的人數(shù);
(Ⅱ)若周課外平均學(xué)習(xí)時間超過小時稱為“努力型”學(xué)生,否則稱為“非努力型”學(xué)生,列聯(lián)表并判斷是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生獲得專業(yè)一、二等獎學(xué)金與是否是“努力型”學(xué)生有關(guān)?
(Ⅲ)若以頻率作為概率,從該校任選一名學(xué)生,記該學(xué)生年獲得的專業(yè)獎學(xué)金額為隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量的分布列和期望.
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【題目】如圖,拋物線關(guān)于軸對稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)、、均在拋物線上.
(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時,求的值及直線的斜率.
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