Question

【題目】已知四條直線兩兩相交，且不共點(diǎn)，求證：這四條直線在同一平面內(nèi)．

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

四條直線兩兩相交包括：四條直線中有三條相交于一點(diǎn)與四條直線中任何三條都不共點(diǎn)兩種情況．
無(wú)論哪種情況先由兩直線相交確定一個(gè)平面，再通過(guò)直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)則該直線在這個(gè)平面內(nèi)，即可證明．

已知：a，b，c，d四條直線兩兩相交，且不共點(diǎn)，求證：a，b，c，d四線共面．

證明：（1）若a，b，c三線共點(diǎn)于O，

如圖所示，，

經(jīng)過(guò)d與點(diǎn)O有且只有一個(gè)平面α．

，B，C分別是d與a，b，c的交點(diǎn)，

，B，C三點(diǎn)在平面α內(nèi)．由公理1知a，b，c都在平面α內(nèi)，故a，b，c，d共面．

（2）若a，b，c，d無(wú)三線共點(diǎn)，

如圖所示，，

經(jīng)過(guò)a，b有且僅有一個(gè)平面α，

，．由公理1知．

同理，，從而有a，b，c，d共面．

綜上所述：四條直線兩兩相交，且不共點(diǎn)，這四條直線在同一平面內(nèi)．