Question

已知函數(shù)f（x）=ax-（2a+1）lnx-

2

x

，g（x）=-2alnx-

2

x

，其中a∈R
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當a＞0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若存在x∈[

1

e

，e²]，使不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）把a=2代入函數(shù)解析式，求導后求得x=1處的導數(shù)值，進一步求得f（1），然后利用直線方程的點斜式求得曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求出原函數(shù)的導函數(shù)f′(x)=a-

2a+1

x

+

2

x2

=

a(x-2)(x- 1 a )

x2

．然后分a=

1

2

，a＞

1

2

，0＜a＜

1

2

三種情況求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）把f（x）≥g（x）轉(zhuǎn)化為ax-lnx≥0，分離參數(shù)a得a≥

lnx

x

，構(gòu)造函數(shù)h(x)=

lnx

x

，求函數(shù)h（x）在
[

1

e

，e²]上的最小值得a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=2時，f（x）=2x-5lnx-

2

x

，
f′(x)=2-

5

x

+

2

x2

，f′（1）=-1，
又f（1）=0，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=-1×（x-1），
即x+y-1=0；
（2）f′(x)=a-

2a+1

x

+

2

x2

=

a(x-2)(x- 1 a )

x2

．
當a=

1

2

時，f′（x）≥0恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
當a＞

1

2

時，當x∈(0，

1

a

)，(2，+∞)時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；當x∈(

1

a

，2)時，f′（x）＜0，
f（x）為減函數(shù)；
當0＜a＜

1

2

時，當x∈(0，2)，(

1

a

，+∞)時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；當x∈(2，

1

a

)時，f′（x）＜0，
f（x）為減函數(shù)；
（3）f（x）≥g（x）等價于ax-（2a+1）lnx-

2

x

≥-2alnx-

2

x

，即ax-lnx≥0，
分離參數(shù)a得，a≥

lnx

x

．
令h(x)=

lnx

x

，
若存在x∈[

1

e

，e²]，使不等式f（x）≥g（x）成立，
即a≥h（x）_min．
h′(x)=

1-lnx

x2

，
當x∈（0，e）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)；當x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)．
而h（

1

e

）=-e，h（e²）=

2

e2

．
∴h（x）在[

1

e

，e²]上的最小值為-e，
∴a≥-e．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．