Question

如圖，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠BAD=

π

3

，分別以△ABD與△CBD為底面作相同的正三棱錐E-ABD與F-CBD，且∠AEB=

π

2

．
（1）求證：EF∥平面ABCD；
（2）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）作EO₁⊥面ABCD于O₁，作FO₂⊥面ABCD于O₂，證明O₁O₂∥EF，利用直線(xiàn)與平面平行的判定定理證明EF∥平面ABCD．
（2）取BD中點(diǎn)為O，聯(lián)接EO，OF，得到BD⊥平面EOF，多面體ABCDEF的體積V_ABCDEF=V_E-ABD+V_F-CBD+V_B-EFD求解即可．

解答： 解：（1）作EO₁⊥面ABCD于O₁，作FO₂⊥面ABCD于O₂，
因E-ABD與F-CBD都是正三棱錐，
且O₁、O₂分別為△ABD與△CBD的中心，
∴EO₁∥FO₂，且
EO₁=FO₂=

6

3

．…（3分）
所以四邊形EO₁O₂F是平行四邊形，所以O(shè)₁O₂∥EF．…（4分）
又O₁O₂?面ABCD，EF?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．…（6分）
（2）又O₁O₂⊥DB，則BD⊥平面EO₁O₂F，故FO₂⊥DB．…（8分）
取BD中點(diǎn)為O，聯(lián)接EO，OF即BD⊥平面EOF，
易算出VB=EFD=

1

3

S△EOF•|BD|=

1

3

×(

1

2

×

6

3

×

2 3

3

)×2=

2 2

9

 …（10分）
VE-ABD=VF-CBD=

1

3

×(

1

2

×

2

×

2

)×

2

=

2

3

            …（11分）
多面體ABCDEF的體積VABCDEF=VE-ABD+VF-CBD+VB-EFD=2×

2

3

+

2 2

9

=

8 2

9

       …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的判定定理的應(yīng)用，多面體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．