Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=6，E，F(xiàn)分別為PB，AB中點．
（1）證明：BC⊥平面PDC；
（2）求三棱錐P-DEF的體積．

Answer 1

分析：（1）由底面ABCD是正方形可得BC⊥CD，再由PD⊥平面ABCD可得PD⊥BC，進而可得結(jié)論．
（2））由E為PB的中點可得P，B兩點到平面DEF的距離相等，可得V_{三棱錐P-DEF}=V_{三棱錐B-DEF}=V_{三棱錐E-BDF}，根據(jù)三角形的中位線定理可得EE′=

1

2

PD=3，可以求出三棱錐E-BDF的體積即可．

解答：解：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC．
又底面ABCD是正方形，故BC⊥CD．
又PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC．
（2）∵E為PB的中點，∴P，B兩點到平面DEF的距離相等．
∴V_{三棱錐P-DEF}=V_{三棱錐B-DEF}=V_{三棱錐E-BDF}．
設(shè)BD中點E^′，則據(jù)三角形的中位線定理可得EE′=

1

2

PD=3．
且EE^′∥PD，又PD⊥平面ABCD，
∴EE^′⊥平面ABCD，
又V_{三棱錐E-BDF}=

1

3

×

1

2

×2×4×3=4．
故V_{三棱錐P-DEF}=V_{三棱錐E-BDF}=4．

點評：本題考查了線面垂直和三棱錐的體積，掌握由線線垂直得到線面的方法及善于轉(zhuǎn)化求體積是解決問題的關(guān)鍵．