Question

1．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸的距離是$\frac{π}{2}$，當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)取得最大值2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{6}{5}$的零點(diǎn)為x₀，求$cos（{\frac{π}{3}-2{x_0}}）$．

Answer 1

分析 （1）由已知求出函數(shù)的振幅，周期和初相，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{6}{5}$的零點(diǎn)為x₀，$f（{x_0}）=\frac{6}{5}$，利用誘導(dǎo)公式，可得答案．

解答 解：（1）由題意知，振幅A=2，
周期T=$\frac{2π}{ω}=2×\frac{π}{2}$，
∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ）．
將點(diǎn)$（{\frac{π}{6}，2}）$代入得：$2sin（{\frac{π}{3}+φ}）=2⇒sin（{\frac{π}{3}+φ}）=1$，又$|φ|＜\frac{π}{2}$，
故$φ=\frac{π}{6}$．
∴$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$．
（2）由函數(shù)$g（x）=f（x）-\frac{6}{5}$的零點(diǎn)為x₀知：x₀是方程$f（x）=\frac{6}{5}$的根，故$f（{x_0}）=\frac{6}{5}$，
得sin（2x₀+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，又（2x₀+$\frac{π}{6}$）+（$\frac{π}{3}$-2x₀）=$\frac{π}{2}$，
∴$cos（{\frac{π}{3}-2{x_0}}）=cos[{\frac{π}{2}-（{2{x_0}+\frac{π}{6}}）}]=sin（{2{x_0}+\frac{π}{6}}）=\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．