Question

19．已知定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：?x∈（0，+∞），f（f（x）-log₂x）=3，則函數(shù)g（x）=f（x）-sin2πx-2的零點的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由條件求得f（x）=2+log₂x，本題即求數(shù)y=f（x）的圖象和函數(shù)y=sin2πx+2的圖象的交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，則f（x）-log₂x為定值．
設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=3，可得t+log₂t=3，可解得t=2，故f（x）=2+log₂x．
函數(shù)g（x）=f（x）-sin2πx-2的零點的個數(shù)，
即函數(shù)y=f（x）的圖象（圖中綠色曲線）和函數(shù)y=sin2πx+2的圖象（圖中紅色曲線）的交點個數(shù)，
如圖所示：
由于函數(shù)y=f（x）的圖象（圖中綠色曲線）和函數(shù)y=sin2πx+2的圖象（圖中紅色曲線）的交點個數(shù)為3，
故選：C．

點評 本題主要考查方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．