Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+sinx，g（x）=

1

3

x．若存在x₁，x₂∈[0，+∞）使得f（x₁）=g（x₂）成立，則x₂-x₁的最小值是

3

．

Answer 1

分析：設(shè)F（x）=f（x）-g（x），由f（x₁）=g（x₂）把求x₂-x₁的最小值轉(zhuǎn)化為函數(shù)3F（x）在[0，+∞）上的最小值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可求出最小值．

解答：解：設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=e^x+sinx-

1

3

x．
由f（x₁）=g（x₂）得x₂=3（e^x+sinx₁），
∴x₂-x₁=3（e^x+sinx₁-

1

3

x₁），所以求x₂-x₁的最小值即求函數(shù)3F（x）在[0，+∞）上的最小值，
∵F′（x）=e^x+cosx-

1

3

．
當(dāng)x≥0時(shí)，令φ（x）=e^x+cosx-

1

3

，φ′（x）=e^x-sinx≥1-1=0；
所以函數(shù)F′（x）在[0，+∞）上遞增，
從而F′（x）≥F′（0）=1+1-

1

3

=2-

1

3

＞0，
所以F（x）在[0，+∞）上遞增，所以3F（x）≥3F（0）≥3．
∴x₂-x₁得最小值為3．
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．