Question

在△ABC中，已知

BA

•

BC

=16，sinB=cosA•sinC，S_△ABC=6，P為線段AB上的一點(diǎn)，且

CP

=x•

CA

| CA |

+y•

CB

| CB |

，則

1

x

+

1

y

的最小值為（　�。�

• A、

  7

  6

• B、

  7

  12

• C、

  7

  6

  +

  3

  3

• D、

  7

  12

  +

  3

  3

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,基本不等式,平面向量的基本定理及其意義,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：sinB=cosA•sinC=sin（A+C），展開可得sinAcosC=0，得到C=

π

2

．由

BA

•

BC

=16，可得cacosB=16，解得a=4．由S_△ABC=6，可得

1

2

ab=6，a=4，b=3．由

CP

=x•

CA

| CA |

+y•

CB

| CB |

，P為線段AB上的一點(diǎn)，可得

x

4

+

y

3

=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵sinB=cosA•sinC=sin（A+C），∴cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC=0，∵A，C∈（0，π），∴C=

π

2

．
∵

BA

•

BC

=16，∴cacosB=16，∴a²=16，解得a=4．
∵S_△ABC=6，∴

1

2

ab=6，a=4，解得b=3．
∴c=5．
∵

CP

=x•

CA

| CA |

+y•

CB

| CB |

，P為線段AB上的一點(diǎn)，
∴

x

4

+

y

3

=1．
∴

1

x

+

1

y

=(

x

4

+

y

3

)(

1

x

+

1

y

)=

7

12

+

y

3x

+

x

4y

≥

7

12

+2

y 3x • x 4y

=

7

12

+

3

3

，當(dāng)且僅當(dāng)2y=

3

x=24-12

3

時(shí)取等號．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、兩角和差的正弦公式、三角形的面積計(jì)算公式、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．