Question

如圖，已知拋物線C：y²=4x，過(guò)點(diǎn)A（1，2）作拋物線C的弦AP，AQ．設(shè)直線PQ過(guò)點(diǎn)T（5，-2），則以PQ為底邊的等腰三角形APQ個(gè)數(shù)為 （　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合三角形APQ為等腰三角形求出關(guān)于m的等式，借助于函數(shù)的單調(diào)性求出m的取值個(gè)數(shù)即可得到結(jié)論．

解答： 解：以PQ為底邊的等腰三角形APQ，直線PQ的方程為直線PQ的方程為x-5=m（y+2），即x=my+2m+5．
設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線方程代入拋物線方程，消x得y²-4my-8m-20=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8m-20．
∴PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2m²+2m+5，2m）．
由已知得

2m-2

2m2+2m+5-1

=-m，即m³+m²+3m-1=0．
設(shè)g（m）=m³+m²+3m-1，則g′（m）=3m²+2m+3＞0，
∴g（m）在R上是增函數(shù)．
又g（0）=-1＜0，g（1）=4＞0，∴g（m）在（0，1）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．
∴函數(shù)g（m）在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程m³+m²+3m-1=0在R上有唯一實(shí)根．
所以滿足條件的等腰三角形有且只有一個(gè)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的綜合問(wèn)題．注意直線方程的設(shè)法．當(dāng)直線的斜率不確定存在時(shí)，為避免討論，常設(shè)直線方程為x=my+n的形式．考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．