Question

已知函數f（x）=

1+lnx

x

（1）求函數f（x）的極值
（2）設g（x）=

1+x

a(1-x)

[xf（x）-1]，若對任意x∈（0，1）恒有g（x）＜-2求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出原函數的導函數，得到導函數的零點，由導函數的零點把定義域分段，由導函數在各區(qū)間段內的符號判斷原函數的單調性，從而求得原函數的極值；
（2）由題意可知，a≠0，且g(x)=

1+x

a(1-x)

lnx，又x∈（0，1），得到

1+x

1-x

lnx＜0．然后分a＜0和a＞0討論當a＞0時，構造函數h(x)=lnx+

2a(1-x)

1+x

，問題轉化為h_max（x）＜0．然后根據a的范圍利用導數分析其最大值是否小于0得答案．

解答： 解：（1）由f（x）=

1+lnx

x

，得f′(x)=(

1+lnx

x

)′=-

lnx

x2

(x＞0)，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
故f（x）在x=1處取得極大值，極大值為f（1）=

1+ln1

1

=1；
（2）由題意可知，a≠0，且g(x)=

1+x

a(1-x)

lnx，
∵x∈（0，1），∴

1+x

1-x

lnx＜0．
當a＜0時，g（x）＞0，不合題意；
當a＞0時，由g（x）＜-2，可得lnx+

2a(1-x)

1+x

＜0恒成立．
設h(x)=lnx+

2a(1-x)

1+x

，則h_max（x）＜0．
求導得：h′(x)=

x2+(2-4a)x+1

x(1+x)2

．
設t（x）=x²+（2-4a）x+1，△=（2-4a）²-4=16a（a-1）．
①當0＜a≤1時，△≤0，此時t（x）≥0，h′（x）≥0，∴h（x）在（0，1）內單調遞增，
又h（1）=0，∴h（x）＜h（1）=0，此時0＜a≤1符合條件；
②當a＞1時，△＞0，注意到t（0）=1＞0，t（1）=4（1-a）＜0，
∴存在x₀∈（0，1），使得t（x₀）=0，于是對任意x∈（x₀，1），t（x）＜0，h′（x）＜0，
則h（x）在（x₀，1）內單調遞減，又h（1）=0，∴當x∈（x₀，1）時，h（x）＞0，不合要求．
綜①②可得0＜a≤1．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求解函數的最值，體現了分類討論的數學思想方法，解答此題的關鍵是對a＞1時的分析，要求考生有敏銳的洞察力．