Question

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求在上的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，總有，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間是 ，減區(qū)間是；（2）.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，求得，求導(dǎo)，令，則在是減函數(shù)，從而在上是減函數(shù)，進(jìn)而得出在上的極大值，即可得到最大值；（2）由題意得可知，則，從而得不等式可化為，對任意的恒成立.通過討論①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③時(shí)的情況，即可得出結(jié)論.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

則，令，則

顯然在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，又，在區(qū)間內(nèi)，總有

在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，

，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，

，此時(shí)單調(diào)遞減；

在區(qū)間內(nèi)的極大值也即最大值是

（2）由題意，知，則

根據(jù)題意，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根

，即，且

，由

其中，得

所以上式化為

又，所以不等式可化為，對任意的恒成立.

①當(dāng)，不等式恒成立，；

②當(dāng)時(shí)，恒成立，

令函數(shù)

顯然是內(nèi)的減函數(shù)，當(dāng)，

③時(shí)，恒成立，即

由②，當(dāng)，，即