Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n+6．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）證明：數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,等比數(shù)列的前n項和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n+6，即可求a₂，a₃的值；
（2）由已知可得a_n+1+2=4（a_n+2），可得數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列；
（3）由（2）可得a_n=4ⁿ-2，可得S_n=4+4²+4³+2³+…+4ⁿ-2n，由等比數(shù)列的求和公式計算可得．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n+6，
∴a₂=14，a₃=62；
（2）證明：∵a_n+1=4a_n+6，∴a_n+1+2=4（a_n+2）
又a₁+2=4≠0
∴數(shù)列{a_n+2}是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列．     …（4分）
（3）解：由（2）知數(shù)列{a_n+2}的通項公式為a_n+2=4ⁿ，
∴a_n=4ⁿ-2，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=4+4²+4³+2³+…+4ⁿ-2n
=

4(1-4n)

1-4

-2n=

4

3

（4ⁿ-1）-2n．

點評：本題考查等比數(shù)列關(guān)系的確定，涉及數(shù)列的求和，屬中檔題．