Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-21n（1+x）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）試討論關(guān)于x的方程：f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上的根的個數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用參數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為a=1+x-21n（1+x），然后利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）=1+x-21n（1+x）在區(qū)間[0，2]上的極值和最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為（-1，+∞），
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2（x+1）-

2

1+x

=

2x(x+2)

x+1

，
若f′（x）＞0，則x＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
若f′（x）＜0，則-1＜x＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，0）；
（2）由f（x）=x²+x+a，
得（1+x）²-21n（1+x）=x²+x+a，
則a=1+x-21n（1+x），
設(shè)g（x）=1+x-21n（1+x），
則g′（x）=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，
當(dāng)1＜x＜2時，g′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＜0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=1時，函數(shù)g（x）取得極小值，同時也是最小值g（1）=2-2ln2，
∵g（0）=1，g（2）=3-2ln3＜1，
∴若a＜2-2ln2，則方程a=1+x-21n（1+x）在區(qū)間[0，2]無解，
若a=2-2ln2，則方程a=1+x-21n（1+x）在區(qū)間[0，2]有1解，
若2-2ln2＜a≤3-2ln3，則方程a=1+x-21n（1+x）在區(qū)間[0，2]有2解，
若3-2ln3＜a≤1，則方程a=1+x-21n（1+x）在區(qū)間[0，2]有1解，
若a＞1則方程a=1+x-21n（1+x）在區(qū)間[0，2]無解．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及方程根的個數(shù)的判斷，考查學(xué)生的推理能力．