Question

已知f（x）=（x∈R）
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍A；
（3）在（2）的條件下，設關于x的方程f（x）=的兩個根為x₁、x₂，若對任意a∈A，t∈[-1，1]，不等式m2+tm+1≥|x₁-x₂|恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）a=1時，，由此能求出過（2，f（2））切線方程．
（2）由=，f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，知x²-ax-2≤0對x∈[-1，1]恒成立．由此能求出實數(shù)a的取值范圍A．
（3）由，得x²-ax-2=0，由△=a²+8＞0，知，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=（x∈R），
∴a=1時，f（x）=，
∴，
∴f′（2）=0，f（2）==，
∴過（2，f（2））切線方程為y=．
（2）∵f（x）=（x∈R），
∴=，
∵f（x）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0對x∈[-1，1]恒成立．
設g（x）=x²-ax-2，則問題等價于
，解得-1≤≤1．
∴A=[-1，1]．
（3）由，得x²-ax-2=0，
∵△=a²+8＞0，
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩個非零實數(shù)根，
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
從而，
∴不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立．
∴m²+tm+1≥3對任意t∈[-1，1]恒成立，
∴m²+tm-2≥0對任意t∈[-1，1]恒成立，
設g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），則問題等價于：，
解得m≤-2，或m≥2．
∴m的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）．
點評：本題考查函數(shù)的切線方程的求法，考查集合的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認真審題，注意導數(shù)性質和等價轉化思想的合理運用．