Question

【題目】如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥側(cè)面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．
（Ⅰ）求證：C1B⊥平面ABC；
（Ⅱ）E是棱CC1所在直線上的一點(diǎn)，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值為 ，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，所以AB⊥BC1 ，
在△CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=60°，
由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BCCC1cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，
所以B1C= ，
故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1 ，
又BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC1兩兩垂直．以B為原點(diǎn)，BC，BA，BC1所在直線
為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則，則B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0， ），B1（﹣1，0， ）
， ，令 ，∴ ，
，
設(shè)平面AB1E的一個(gè)法向量為 ．
，令z= ，則x= ，y= ，
∴ ，．∵AB⊥平面BB1C1C， 是平面的一個(gè)法向量，
|cos＜ ＞|= ，兩邊平方并化簡(jiǎn)得2λ2﹣5λ+3=0，所以λ=1或 （舍去）．
∴CE=CC1=2．
【解析】（Ⅰ）證明AB⊥BC1 ， 在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后證明BC⊥BC1 ， 利用直線與平面垂直的判定定理證明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）通過(guò)AB，BC，BC1兩兩垂直．以B為原點(diǎn)，BC，BA，BC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面AB1E的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量通過(guò)向量的數(shù)量積，推出λ的方程，求解即可．