如圖所示,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分別是AB、PC的中點,
(1)求證:MN∥平面PAD;
(2)求證:MN⊥CD;
(3)若∠PDA=45°,求證:平面BMN⊥平面PCD.
【答案】分析:(1)取PD 的中點E,連接AE、EN,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),我們可得四邊形AMNE為平行四邊形,即MN∥AE,進而根據(jù)線面平行的判定定理得到MN∥平面PAD.
(2)由已知中PA⊥矩形ABCD所在的平面,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及矩形的性質(zhì),可得PA⊥AB,AD⊥AB,由線面垂直的判定定理得AB⊥平面PAD,結(jié)合線面垂直的判定定理及性質(zhì),即可得到MN⊥CD;
(3)由已知中PA⊥矩形ABCD所在的平面,∠PDA=45°,E 是PD 的中點,可得MN⊥PD,MN⊥CD,由線面線面垂直的判定定理得MN⊥平面PCD,再由面面垂直的判定定理可得面BMN⊥平面PCD.
解答:證明:(1)如圖所示,取PD 的中點E,連接AE、EN,
則有EN===AM,EN∥CD∥AB∥AM,
故AMNE 是平行四邊形,
∴MN∥AE,
∵AE?平面PAD,MN?平面PAD,
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AB,又AD⊥AB,
∴AB⊥平面PAD,
∴AB⊥AE,即AB⊥MN,
又CD∥AB,
∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AD,又∠PDA=45°,E 是PD 的中點,
∴AE⊥PD,即MN⊥PD,
又MN⊥CD,
∴MN⊥平面PCD,
∵MN?平面BMN
∴平面BMN⊥平面PCD.
點評:本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,熟練掌握空間直線與平面平行及垂直的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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如圖所示,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分別是AB、PC的中點,
(1)求證:MN∥平面PAD;
(2)求證:MN⊥CD;
(3)若∠PDA=45°,求證:平面BMN⊥平面PCD.

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(2)求證:MNCD;

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如圖所示,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分別是AB、PC的中點,
(1)求證:MN∥平面PAD;
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(3)若∠PDA=45°,求證:平面BMN⊥平面PCD.

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