Question

如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：MN⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求證：平面BMN⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）取PD 的中點(diǎn)E，連接AE、EN，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，我們可得四邊形AMNE為平行四邊形，即MN∥AE，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理得到MN∥平面PAD．
（2）由已知中PA⊥矩形ABCD所在的平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，可得PA⊥AB，AD⊥AB，由線面垂直的判定定理得AB⊥平面PAD，結(jié)合線面垂直的判定定理及性質(zhì)，即可得到MN⊥CD；
（3）由已知中PA⊥矩形ABCD所在的平面，∠PDA=45°，E 是PD 的中點(diǎn)，可得MN⊥PD，MN⊥CD，由線面線面垂直的判定定理得MN⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得面BMN⊥平面PCD．

解答：證明：（1）如圖所示，取PD 的中點(diǎn)E，連接AE、EN，
則有EN=

1

2

CD=

1

2

AB=AM，EN∥CD∥AB∥AM，
故AMNE 是平行四邊形，
∴MN∥AE，
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AD⊥AB，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥AE，即AB⊥MN，
又CD∥AB，
∴MN⊥CD．
（3）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，又∠PDA=45°，E 是PD 的中點(diǎn)，
∴AE⊥PD，即MN⊥PD，
又MN⊥CD，
∴MN⊥平面PCD，
∵M(jìn)N?平面BMN
∴平面BMN⊥平面PCD．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間直線與平面平行及垂直的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．