Question

已知f(x)=

3

2

-

3

sin2ωx-sinωx•cosωx (ω＞0)，且f（x）圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為

π

2

，
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在[π， 

3

2

π]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二倍角公式與輔助角公式，化簡(jiǎn)得f(x)=-sin(2x-

π

3

)，再利用三角函數(shù)的周期公式即可算出ω的值；
（2）由x∈[π， 

3

2

π]得到

5π

3

≤2x-

π

3

≤

8π

3

，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可算出f（x）在[π， 

3

2

π]上的值域．

解答：解：（1）∵sin²ωx=

1

2

（1-cos2ωx），sinωxcosωx=

1

2

sin2ωx，
∴f(x)=

3

2

-

3

2

(1-cos2ωx)-

1

2

sin2ωx
=

3

2

cos2ωx-

1

2

sin2ωx=-sin(2ωx-

π

3

)
又∵f（x）圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為

π

2

，
∴函數(shù)的最小正周期T=

2π

2ω

=π，解之得ω=1；
（2）由（1）得f(x)=-sin(2x-

π

3

)，
∵π≤x≤

3π

2

，可得

5π

3

≤2x-

π

3

≤ 

8π

3

，
∴-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，
因此-1≤-sin(2x-

π

3

)≤

3

2

，
可得f（x）在[π， 

3

2

π]上的值域?yàn)?span id="osmb6qf" class="MathJye">[-1， 

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題將三角函數(shù)式化簡(jiǎn)，求它在閉區(qū)間上的值域．著重考查了三角恒等變換、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)的值域求法等知識(shí)，屬于中檔題．