Question

將一顆骰子拋擲兩次，所得向上點數(shù)分別為m，n，則函數(shù)y=

2

3

mx³-nx+1在[

2

2

，+∞）上為增函數(shù)的概率是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  5

  12

• C、

  7

  12

• D、

  2

  3

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,古典概型及其概率計算公式

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,概率與統(tǒng)計

分析：將一骰子向上拋擲兩次，所得點數(shù)分別為m和n的基本事件個數(shù)有36個．函數(shù)y=

2

3

mx³-nx+1在[

2

2

，+∞）上為增函數(shù)包含的基本事件個數(shù)為21個，利用古典概型公式即可得到答案．

解答： 函數(shù)y=

2

3

mx³-nx+1在[

2

2

，+∞）上為增函數(shù)，等價于導(dǎo)數(shù)y′=2mx²-n 在[

2

2

，+∞）上大于或等于0恒成立．
而x²≥

n

2m

在[

2

2

，+∞）上恒成立即

n

2m

≤

1

2

，亦即

n

m

≤1恒成立．
∵將一骰子向上拋擲兩次，所得點數(shù)分別為m和n的基本事件個數(shù)為36個，而滿足

n

m

≤1包含的（m，n）基本事件個數(shù)為21個，
故函數(shù)y=

2

3

mx³-nx+1在[1，+∞）上為增函數(shù)的概率是

21

36

=

7

12

，
故選C．

點評：本題考查的是概率與函數(shù)的綜合問題．能利用古典概型的特點分別求出基本事件的總數(shù)及所求事件包含的基本事件的個數(shù)．同時也能利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的恒成立問題．