Question

中心在原點(diǎn)O的橢圓的左焦點(diǎn)為F（-1，0），上頂點(diǎn)為（0，），P₁、P₂、P₃是橢圓上任意三個(gè)不同點(diǎn)，且∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，則++=（ ）
A．2
B．3
C．1
D．-1

Answer 1

【答案】分析：設(shè)橢圓方程為 ，由題意知c=1，，a=2故所求橢圓方程為 ．
記橢圓的右頂點(diǎn)為A，并設(shè)∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），假設(shè) ，且 ，
又設(shè)點(diǎn)P_i在l上的射影為Q_i，因橢圓的離心率 ，從而有|FP_i|=|P_iQ_i|•e==（i=1，2，3）．由此入手能夠推導(dǎo)出++，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知 ++為定值，并能求出此定值．
解答：解：設(shè)橢圓方程為 ，由題意知c=1，，a=2故所求橢圓方程為 ．
記橢圓的右頂點(diǎn)為A，并設(shè)∠AFP_i=α_i（i=1，2，3），不失一般性，
假設(shè) ，且 ，
又設(shè)點(diǎn)P_i在l上的射影為Q_i，因橢圓的離心率 ，從而有|F₁P_i|=|P_iQ_i|•e==（i=1，2，3），解得 =（i=1，2，3）
因此 ++=，
而 =，
故++=2，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知 ++．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題中的隱含條件．