Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），且滿足f（xy）=f（x）+f（y），f(

1

2

)=1如果對(duì)于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），不等式f（-x）+f（3-x）≥-2的解集為（　�。�

• A、[-1，0）∪（3，4]
• B、[-1，0）
• C、（3，4]
• D、[-1，4]

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知令x=y=1求得f（1）=0，再求f（2）=-1，即有f（4）=-2，原不等式f（-x）+f（3-x）≥-2即為f[-x（3-x）]≥f（4）．再由單調(diào)性即可得到不等式組，解出它們即可．

解答： 解：由于f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1則f（1）=2f（1），即f（1）=0，
則f（1）=f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）=0，
由于f(

1

2

)=1，則f（2）=-1，
即有f（4）=2f（2）=-2，
不等式f（-x）+f（3-x）≥-2即為f[-x（3-x）]≥f（4）．
由于對(duì)于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），
則f（x）在（0，+∞）上遞減，
則原不等式即為

-x＞0 3-x＞0 -x(3-x)≤4

，即有

x＜0 x＜3 -1≤x≤4

，
即有-1≤x＜0，即解集為[-1，0）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用：解不等式，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．