【題目】已知集合,設(shè)整除整除,令表示集合所含元素的個(gè)數(shù).

1)寫出的值;

2)當(dāng)時(shí),寫出的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【答案】12)答案見解析

【解析】

1)根據(jù)題意按分類計(jì)數(shù):即可求得答案;

2)由(1)知,所以當(dāng)時(shí),的表達(dá)式要按除的余數(shù)進(jìn)行分類,最利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,即可求得答案.

1整除整除,

2 當(dāng)時(shí),

,

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

當(dāng)時(shí),,結(jié)論成立;

假設(shè)()時(shí)結(jié)論成立,那么時(shí),的基礎(chǔ)上新增加的元素在,,中產(chǎn)生,分以下情形討論:

1)若,,

此時(shí)有

,結(jié)論成立;

2)若,,此時(shí)有

,結(jié)論成立;

3)若,,此時(shí)有

,結(jié)論成立;

4)若,,此時(shí)有

,結(jié)論成立;

5)若,,此時(shí)有

,結(jié)論成立;

6)若,,此時(shí)有

,結(jié)論成立.

綜上所述,結(jié)論對(duì)滿足的自然數(shù)均成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng),提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù),并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過

不超過

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?

附:,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某快餐連鎖店招聘外賣騎手,該快餐連鎖店提供了兩種日工資方案:方案①:規(guī)定每日底薪50元,快遞業(yè)務(wù)每完成一單提成3元;方案②:規(guī)定每日底薪100元,快遞業(yè)務(wù)的前44單沒有提成,從第45單開始,每完成一單提成5元.該快餐連鎖店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量.現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù),將樣本數(shù)據(jù)分為,,,,,七組,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)隨機(jī)選取一天,估計(jì)這一天該連鎖店的騎手的人均日快遞業(yè)務(wù)量不少于65單的概率;

(2)若騎手甲、乙選擇了日工資方案①,丙、丁選擇了日工資方案②.現(xiàn)從上述4名騎手中隨機(jī)選取2人,求至少有1名騎手選擇方案①的概率;

(3)若從人均日收入的角度考慮,請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為新聘騎手做出日工資方案的選擇,并說明理由.(同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】對(duì)于函數(shù),若存在正常數(shù),使得對(duì)任意的,都有成立,我們稱函數(shù)同比不減函數(shù)

1)求證:對(duì)任意正常數(shù),都不是同比不減函數(shù)

2)若函數(shù)同比不減函數(shù),求的取值范圍;

3)是否存在正常數(shù),使得函數(shù)同比不減函數(shù),若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓C:ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-,0)、F2,0.點(diǎn)M1,0)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.

1)求橢圓C的方程;

2)已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,2),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n)(m≠3.過點(diǎn)M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),設(shè)直線ANNP、BN的斜率分別為k1k2、k3,若k1k32k2,試求mn滿足的關(guān)系式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列,,對(duì)任意n恒成立.

1)求證:();

2)求證:().

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,若為常數(shù))對(duì)任意恒成立.

1)若,求的值;

2)若,且.

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

②若數(shù)列滿足,且,求證:數(shù)列為等比數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,傾斜角為的直線過點(diǎn).以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

1)寫出直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

2)若直線交于兩點(diǎn),且,求傾斜角的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為上一點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),平行于的直線于異于的兩點(diǎn).點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.證明:直線軸圍成的三角形是等腰三角形.

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