Question

15．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的一條對稱軸是$x=\frac{π}{8}$．
（1）求φ；
（2）用五點法畫出f（x）在$x∈[\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$的圖象；并確定m的取值范圍，是方程f（x）=m，x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]有兩個不同的解．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數(shù)的對稱性可得2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），又-π＜φ＜0，于是可求得答案．
（2）依題意，$x∈[\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$⇒-$\frac{π}{2}$≤2x$-\frac{3π}{4}$≤π，通過列表，利用五點作圖法畫出函數(shù)y=sin（2x$-\frac{3π}{4}$），$x∈[\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$的圖象，從而可求得方程f（x）=m，x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]兩個不同的解．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）圖象的一條對稱軸是x=$\frac{π}{8}$，
∴2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
又-π＜φ＜0，
∴$φ=-\frac{3π}{4}$，
（2）∵$x∈[\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$]，
∴-$\frac{π}{2}$≤2x$-\frac{3π}{4}$≤π，
列表如下：

x	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$
2x$-\frac{3π}{4}$	-π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π
y=2sin（2x$-\frac{3π}{4}$）	0	-1	0	1	0

作圖如下：

∵方程f（x）=m，x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]有兩個不同的解．
∴由圖象可得：0≤m＜1．

點評 本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)，著重考查正弦函數(shù)的對稱性，得到2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）是關(guān)鍵，屬于中檔題．本題考查五點作圖法，考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，作出函數(shù)y=sin（2x$-\frac{3π}{4}$）的圖象是關(guān)鍵，屬于中檔題．