Question

【題目】已知設函數(shù)f（x）=loga（1+2x）﹣loga（1﹣2x）（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=loga（1+2x）﹣（loga（1﹣2x）（a＞0，a≠1）．

其定義域滿足 ，解得：

故得f（x）的定義域為{x| }

（2）解：由（1）可知f（x）的定義域為{x| }，關于原點對稱．

又∵f（﹣x）=loga（1﹣2x）﹣（loga（1+2x）=﹣f（x）

∴f（x）為奇函數(shù)

（3）解：f（x）＞0，即loga（1+2x）﹣loga（1﹣2x）＞0，loga（1+2x）＞loga（1﹣2x）

當a＞1時，原不等式等價為：1+2x＞1﹣2x，解得：x＞0．

當0＜a＜1時，原不等式等價為：1+2x＜1﹣2x，解得：x＜0．

又∵f（x）的定義域為（ ， ）．

所以使f（x）＞0的x的取值范圍，當a＞1時為（0， ）；當0＜a＜1時為（ ，0）

【解析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)要大于0列不等式組求解定義域．（2）利用定義判斷函數(shù)的奇偶性．（3）f（x）＞0，即loga（1+2x）﹣loga（1﹣2x）＞0，對底數(shù)a討論，求解x的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的定義域及其求法的相關知識，掌握求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零，以及對函數(shù)的奇偶性的理解，了解偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱．