Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）≥4；
（2）若不等式f（x）≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，由f（x）≥4得$\left\{{\begin{array}{l}{x≤1}\\{3-2x≥4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{1≥4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x-3≥4}\end{array}}\right.$，從而解得；
（2）由不等式的性質(zhì)得f（x）≥|a-1|，從而化恒成立為|a-1|≥a，從而解得．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，由f（x）≥4得，
|x-1|+|x-2|≥4，
即$\left\{{\begin{array}{l}{x≤1}\\{3-2x≥4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{1≥4}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x-3≥4}\end{array}}\right.$，
解得：$x≤-\frac{1}{2}$，或$x≥\frac{7}{2}$；
故原不等式的解集為$\left\{{x\left|{x≤-\frac{1}{2}，}\right.}\right.$或$\left.{x≥\frac{7}{2}}\right\}$．
（2）由不等式的性質(zhì)得：f（x）≥|a-1|，
要使不等式f（x）≥a恒成立，
則只要|a-1|≥a，
解得：$a≤\frac{1}{2}$，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（{-∞，\frac{1}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的應(yīng)用及恒成立問題的處理方法．