【題目】已知三棱錐如圖所示，其中， ，二面角的大小為.

（1）證明： ；

（2）若為線段的中點，且， ，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析.（2）.

【解析】【試題分析】（1）由于，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知2平面，進而得到.（2）設，利用求出，由此在點建立空間直角坐標系，通過計算平面和平面的法向量，來求得二面角的余弦值.

【試題解析】

（1）證明：因為二面角的大小為，故平面平面，

又平面平面， ，故，所以平面，

因為平面，所以.

（2）解：設，則.

由（1）可知， ，因為，所以.

因為， ，

所以，所以， .

解得，故， ， .

如圖所示，建立空間直角坐標系，則， ， ，

， ，

所以， .

由（1）知平面的法向量.

設平面的法向量，由，得.

令，得， ，所以.

所以.

由圖可知二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.

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