【題目】已知函數(shù)的圖象為不間斷的曲線,定義域?yàn)?/span>,規(guī)定:
①如果對(duì)于任意,都有,則稱函數(shù)是凹函數(shù).
②如果對(duì)于任意,都有,則稱函數(shù)是凸函數(shù).
(1)若函數(shù)(且)是凹函數(shù),試寫(xiě)出實(shí)數(shù)的取值范圍;(直接寫(xiě)出結(jié)果,無(wú)需證明);
(2)判斷函數(shù)是凹函數(shù)還是凸函數(shù),并加以證明;
(3)若對(duì)任意的且,,試證明存在,使.
【答案】(1);(2)凸函數(shù),證明見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì),結(jié)合新定義,直接求解即可;
(2)利用作差比較法,根據(jù)新定義,直接判斷、證明即可;
(3)根據(jù)等式,構(gòu)造新函數(shù),利用零點(diǎn)存在原理直接證明即可.
(1)由函數(shù)圖象可知:;
(2)因?yàn)?/span>,故,
所以,則函數(shù)是凸函數(shù).
(3)設(shè),
因?yàn)?/span>
,
又因?yàn)?/span>,
所以,所以在區(qū)間上有零點(diǎn),
即存在,使.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中央政府為了應(yīng)對(duì)因人口老齡化而造成的勞動(dòng)力短缺等問(wèn)題,擬定出臺(tái)“延遲退休年齡政策”.為了了解人們]對(duì)“延遲退休年齡政策”的態(tài)度,責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在15∽65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人,調(diào)査數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:
年齡 | |||||
支持“延遲退休”的人數(shù) | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對(duì)“延遲退休年齡政策”的支持度有差異;
45歲以下 | 45歲以上 | 總計(jì) | |
支持 | |||
不支持 | |||
總計(jì) |
(2)若以45歲為分界點(diǎn),從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項(xiàng)活動(dòng).現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽2人
①抽到1人是45歲以下時(shí),求抽到的另一人是45歲以上的概率.
②記抽到45歲以上的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在單位正方體中,點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng),給出以下四個(gè)命題:
異面直線與間的距離為定值;
三棱錐的體積為定值;
異面直線與直線所成的角為定值;
二面角的大小為定值.
其中真命題有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A(x1,y1),B(x2,y2)是過(guò)F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn),求證:
(1)y1y2=-p2,;(2)為定值;
(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】銷(xiāo)售甲乙兩種商品所得利潤(rùn)分別是(單位:萬(wàn)元)和(單位:萬(wàn)元),它們與投入資金(單位:萬(wàn)元)的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式,.今將10萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲乙兩種商品,其中對(duì)甲種商品投資(單位:萬(wàn)元).
(1)試建立總利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出定義域;
(2)如何投資經(jīng)營(yíng)甲乙兩種商品,才能使得總利潤(rùn)最大,并求出最大總利潤(rùn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線: 的焦點(diǎn)與橢圓: 的一個(gè)焦點(diǎn)重合,點(diǎn)在拋物線上,過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線的方程以及的值;
(Ⅱ)記拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),試問(wèn)是否存在常數(shù),使得且都成立?若存在,求出實(shí)數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在處取得極大值,求實(shí)數(shù)的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,且C與y軸交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)P點(diǎn)是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在y軸的右側(cè),直線PA,PB與直線交于M,N兩點(diǎn).若以MN為直徑的圓與x軸交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的一段圖象如圖所示.
(1)求該函數(shù)的解析式;
(2)求該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(3)該函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到的?
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