Question

如圖，兩個(gè)圓形飛輪通過(guò)皮帶傳動(dòng)，大飛輪O₁的半徑為2r（r為常數(shù)），小飛輪O₂的半徑為r，O₁O₂=4r．在大飛輪的邊緣上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，滿足，在小飛輪的邊緣上有點(diǎn)C．設(shè)大飛輪逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈，傳動(dòng)開始時(shí)，點(diǎn)B，C在水平直線O₁O₂上．
（1）求點(diǎn)A到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)A，C間的距離；
（2）求點(diǎn)B，C在傳動(dòng)過(guò)程中高度差的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以O(shè)₁為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，O₁O₂所在直線為x軸，當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A繞O₁轉(zhuǎn)過(guò)，則點(diǎn)C繞O₂轉(zhuǎn)過(guò)，確定A、C的坐標(biāo)，即可求得A，C間的距離；
（2）由題意，設(shè)大飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，則小飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度為2θ，其中θ∈[0，2π]，可求得點(diǎn)B，C高度差為d=2r|sinθ-sinθcosθ|，構(gòu)造函數(shù)f（θ）=sinθ-sinθcosθ，θ∈[0，2π]，求導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）以O(shè)₁為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，O₁O₂所在直線為x軸，如圖所示建立直角坐標(biāo)系．
當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A繞O₁轉(zhuǎn)過(guò)，則點(diǎn)C繞O₂轉(zhuǎn)過(guò)．（2分）
此時(shí)A（0，2r），C．（4分）
∴AC=．（5分）
（2）由題意，設(shè)大飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，則小飛輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度為2θ，其中θ∈[0，2π]．
此時(shí)B（2rcosθ，2rsinθ），C（4r+rcos2θ，rsin2θ），（6分）
記點(diǎn)B，C高度差為d，則d=|2rsinθ-rsin2θ|，即d=2r|sinθ-sinθcosθ|．（7分）
設(shè)f（θ）=sinθ-sinθcosθ，θ∈[0，2π]，則f′（θ）=（1-cosθ）（2cosθ+1）．（8分）
令f′（θ）=（1-cosθ）（2cosθ+1）=0，得cosθ=-或1．（9分）
則θ=π，π，0或2π．（10分）
列表：

θ		（0，）	π	（，）		（）	2π
f′（θ）		+		-		+
f（θ）		?	極大值f（）	?	極小值f（）	?

∴當(dāng)θ=時(shí)，f（θ）取得極大值為；當(dāng)θ=時(shí)，f（θ）取得極小值為-．
∴點(diǎn)B，C在傳動(dòng)中高度差的最大值d_max=r．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用導(dǎo)數(shù)法解決實(shí)際問(wèn)題，綜合性強(qiáng)．