【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽馬,側(cè)棱底面,且,點的中點,連接.

(1)證明:平面,試判斷四面體是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由;

(2)記陽馬的體積為,四面體的體積為,求

【答案】(1)證明見解析,四面體是一個鱉臑,;(2)

【解析】

試題分析:(1)欲證平面,需在平面內(nèi)找到兩條相交的直線都與垂直,即證,即可;(2)根據(jù)錐體的體積公式表示出,再利用之間的長度關(guān)系即可求得

試題解析:(1)因為底面,所以,由底面為長方形,有,而,所以平面平面,所以,又因為,點的中點,所以,而,所以平面.由平面,平面可知四面體的四個面都是直角三角形,即四面體是一個鱉臑,其四個面的直角分別是.

(2)由已知,是陽馬的高,所以;由(1)知:是鱉臑的高,,所以

中,因為,點的中點,所以,于是

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